速成抢救:考研高数·常用命题结论(7)·级数常用命题结论整理合集·一口气学完级数。

本集为无穷级数基本概念、基本命题、基本方法的总结合集。

安排了较为紧密的衔接，可一条龙学完级数。

序：      

      作者主张“理+念化学习”——

      两手都抓都硬的任务是建立健全公理化学科体系，与树立恰当的久经考验的学科观念或意识（比如整个高等数学通用的极限观、线性观、逻辑观、重演观、配凑观，还有一些不太通用但也比较重要的观念，比如“幂为阶之准”。）这两方面都是优良学科素养的重要组成部分。

无穷级数与数列关系是密切的，级数就是其项的数列的求和。

级数相关的基本概念：

       级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。

基本命题：无穷级数的性质

       其中，一般项趋于0是级数收敛的必要条件，一般项不趋于零是级数发散的充分条件。如果令一般项趋于0成为某个级数收敛的充要条件，需加装条件使得一般项趋于0与级数部分和数列收敛是等价的才行。比如：

       这个加装的条件比较特殊，所以性质更加优良了。加装适当的条件会改善级数的性质，我们通常加装的条件是级数通项非负，即“正项级数”   。

基本命题：正项级数的性质：

对于非正项级数，我们给它取绝对值后即可转换为正项级数，此时收敛情况称为绝对收敛。

基本概念：绝对收敛、条件收敛

       绝对收敛是收敛的充分条件，收敛而不绝对收敛的情况为条件收敛。审敛通常审发散、绝对收敛或条件收敛，单说“收敛”则不够具体。对于判定条件收敛，必要的手续是先判定是否为绝对收敛，如果已经绝对收敛了，则直接结束。如数一1996、二（3）。我画一张关系图：

条件收敛和绝对收敛是互斥事件，不可兼得。

{绝对收敛*&条件收敛}时（*&表示条件掺杂），服从充分性水桶拼接规则。

要先进行审绝对收敛，再审条件收敛，基本方法：审敛的一般流程：

正项级数的审敛是我们所学级数审敛的主流。基本定理：正项级数收敛定理：

       由上图知，所谓正项级数审敛法实质是考察部分和数列有界与否，依据是基本定理：单调有界准则：单调有界数列必有极限。

       通常，题目会给出部分和数列有界的等价条件，常规操作是用不等式，这个具体花样很多，比如基本不等式、其他事情的一些用不等式描述的性质。

介绍正项级数的三种常用审敛法（我将积分审敛法归结为一种特殊的比较审敛法）

       对于正项级数的比较审敛法，使用宜事先建立健全常用来进行比较的敛散性已知的正项级数库、对待比较的正项级数进行模式识别或库内匹配，对于库中应装备哪些呢？——基本结论：常用来进行比较的正项级数

“准p级数”我也把它称为“r级数”：

       这个发散可以推广到p或r